Poker: definizione matematica dell valore atteso

Definizione matematica[modifica | modifica sorgente]

Sia

(\Omega,\mathfrak{F},\mathbb{P})

uno spazio di probabilità, ed

X

una variabile aleatoria a valori reali su tale spazio (ossia una funzione misurabile

X:\Omega \mapsto \mathbb{R}

, dove i numeri si intendono equipaggiati con la loro σ-algebra boreliana). Il valore atteso di

X

è semplicemente l'integrale di

X

rispetto alla misura di probabilità

\mathbb{P}

\mathbb{E}(X):= \int_{\Omega} X(\omega) d \mathbb{P}(\omega)

Calcolare il valore atteso di variabili aleatorie discrete[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di variabile casuale discreta che ammette funzione di probabilità

p_i

è definita come

\ \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{\infty} x_i\,p_i

Calcolare il valore atteso di variabili aleatorie assolutamente continue[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di variabile casuale continua che ammette funzione di densità di probabilità f(x) la definizione diventa

\ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx

Speranza matematica finita[modifica | modifica sorgente]

Si dice che

X

ha speranza finita nel discreto se

\ \mathbb{E}[|X|] = \sum_{i=1}^{\infty} |x_i|\,p_i <+{\infty}

mentre nel continuo se

\ \mathbb{E}[|X|] = \int_{-\infty}^{\infty}|x| f(x) dx <+{\infty}

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Media di una costante[modifica | modifica sorgente]

La media di una costante c (cioè di una variabile casuale che assume il valore c con probabilità 1) è ovviamente la costante stessa:

\mathbb{E}[c]=c

Linearità[modifica | modifica sorgente]

Un'importante caratteristica del valore atteso è la linearità: ovvero per ogni variabile casuale X e coppia di numeri reali a e b si ha

\mathbb{E}[aX+b]=a\mathbb{E}[X]+b

Questa proprietà è facilmente dimostrabile: ad esempio, nel caso di una variabile casuale discreta, si ha

\mathbb{E}[aX+b]=\sum_{i=1}^\infty (ax_i+b)P(X=x_i)=a\sum_{i=1}^\infty x_iP(X=x_i)+b\sum_{i=1}^\infty P(X=x_i)=a\mathbb{E}[X]+b

perché la somma delle probabilità è 1, in quanto consideriamo la somma di tutti i possibili eventi.

Questa proprietà ha la conseguenza importante che date due variabili casuali qualsiasi X e Y (non necessariamente indipendenti) si ha

\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]

Questa proprietà non vale per il prodotto: in generale, E[XY] è diverso da E[X]E[Y]. Quando queste due quantità sono uguali, si dice che X e Y sono non correlate. In particolare, due variabili casuali indipendenti sono non correlate.

Monotonia[modifica | modifica sorgente]

Se i valori che assume una variabile casuale X sono compresi tra due estremi a e b, così sarà la media di X; infatti

\mathbb{E}[X]=\sum_{i=1}^\infty x_iP(X=x_i)>a\sum_{i=1}^\infty P(X=x_i)=a

e allo stesso modo si dimostra nel caso continuo. Da questo si deduce che se due variabili casuali verificano

X\geq Y

(ovvero, per ogni evento E, il valore di X in corrispondenza di quell'evento è maggiore o uguale di quello di Y), allora

\mathbb{E}[X]\geq\mathbb{E}[Y]

Per approfondire, vedi Legge dei grandi numeri.

Stime del valore atteso[modifica | modifica sorgente]

In statistica, la stima del valore atteso assume un ruolo centrale, in quanto principale parametro usato nella statistica inferenziale.

Calcolo del valore atteso nel gioco[modifica | modifica sorgente]

Gioco dei dadi[modifica | modifica sorgente]

Nel gioco dei dadi rappresentando il risultato del tiro del dado con una variabile casuale che possa assumere i valori

1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6

, ciascuno con probabilità

1/6

. Intuitivamente, la media di questa variabile casuale sarà

3.5

, dal momento che

1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=3,5

Gioco del lotto[modifica | modifica sorgente]

Nel gioco del lotto vengono estratti 5 numeri tra 1 e 90, ed un giocatore può puntare una certa posta sul verificarsi di vari eventi. Calcoliamo il valore atteso del ricavo di uno scommettitore che punti 10 euro sulle cinque possibili giocate:
- numero secco (si punta sull'uscita di un determinato numero; la vincita paga circa 11 volte la posta): la probabilità che il giocatore vinca è data dal rapporto da 5/90 (rapporto tra i numeri vincenti e tutti i numeri che possono essere estratti), ed in tal caso il giocatore vincerà $11 \cdot 10-10=100$ euro; la probabilità di perdita è 85/90, ed in tal caso il giocatore perderà i 10 euro di puntata. Il ricavo medio sarà quindi $\frac{5}{90}\cdot 100 - \frac{85}{90} \cdot 10=-\frac{35}{9} \simeq -3.89$ . Ossia, in media il giocatore perderà $3.89$ euro per ogni 10 euro giocati.
- ambo (si punta sull'uscita di un determinata coppia di numeri; la vincita paga 250 volte la posta): vi sono ${90 \choose 2}=4005$ possibili coppie di numeri. Poiché sulla ruota vengono estratti 5 numeri, gli ambi estratti sono ${5 \choose 2}=10$ e pertanto il giocatore vincerà con probabilità 10/4005, ed in tal caso egli guadagnerà $250 \cdot 10-10=2490$ euro; la probabilità di perdita è 3995/4005, ed in tal caso il giocatore perderà i 10 euro di puntata. Il guadagno medio sarà quindi $\frac{10}{4005}\cdot2490 - \frac{3995}{4005}\cdot 10 \simeq -3.76$ . Ossia, in media il giocatore perderà $3.76$ euro per ogni 10 euro giocati.
- terno (si punta sull'uscita di un determinata terna di numeri; la vincita paga 4500 volte la posta): Ci sono 117480 possibili terne distinte di numeri.
- quaterna (si punta sull'uscita di un determinata quaterna di numeri; la vincita paga 120000 volte la posta): Ci sono 2555190 possibili quaterne distinte di numeri.
- cinquina (si punta sull'uscita di un determinata cinquina di numeri; la vincita paga 6 milioni di volte la posta): Ci sono 43949268 possibili cinquine distinte di numeri.